|
|
От
|
Александр Т.
|
|
|
К
|
Александр Т.
|
|
|
Дата
|
17.02.2007 03:08:54
|
|
|
Рубрики
|
Прочее; История;
|
|
Re: Еще парочка...Исправление
>Меня заинтересовала задача на закон движения ракеты для случае, когда пренебречь изменением массы нельзя. Конечно пришлось при этом делать другие предположения, но, может быть, они вполне обоснованы. Ну и нужно сразу сказать, что силой сопротивления атмосферы я сразу пренебрегаю.
>Пусть M=M(t) - масса ракеты как функция времени, v=v(t) и F - проекции скорости и силы тяги двигателей ракеты на ось, направленную вертикально вверх, g - ускорение силы тяжести, t - время. Тогда (dA/dt обозначает дифференцирование переменной величины A по времени)
>d(Mv)/dt=F-Mg
Это уравнение для данной задачи - неверное. Автор вышецитированного сообщения (в момент написания оного) - полный... Но не буду нарушать правила форума. Правильное уравнение (уравнение Мещерского)
M(dv/dt)=F-Mg
>M(dv/dt)+v(dM/dt)=F-Mg
Это тоже неверно.
>Пусть m=m(t) - масса газов, вытекших из двигателей ракеты к моменту времени t. Тогда dM/dt=-dm/dt. Будем считать тягу двигателей F и dm/dt постоянными в течении рассматриваемого периода полета (т.е. вблизи поверхности Земли, где g можно считать постоянным). Тогда удельный импульс V=F/m' - тоже постоянный (все в системе СИ). Введем обозначение dm/dt=m', где m' - постоянная величина. Тогда
>M(t)=M_0-m't (где M_0=M(0) - стартовая масса ракеты) и
>(M_0-m't)(dv/dt)-m'v=m'V-(M_0-m't)g
(M_0-m't)(dv/dt)=m'V-(M_0-m't)g
>По отношению к функции v=v(t) это уравнение представляет собой неоднородное линейное обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка. Применяя стандартную процедуру решения таких уравнений и используя начальное условие v(0)=0, получаем
Все так, но здесь применять "стандартную процедуру" (умник нашелся) и не нужно. Выразить dv/dt и проинтегрировать.
>v=m'Vt/(M_0-m't)-(M_0-m't/2)gt/(M_0-m't)
v=V ln(M_0/(M_0-m't))-gt
>интегрируя эту функцию по времени, получим высоту h=h(t) как функцию времени (h(0)=0)
>h=(M_0 ln(M_0/(M_0-m't))/m' - t)(V - M_0g/2) - gtt/4
h=V((1-m't/M_0)ln(1-m't/M_0)+m't/M_0)M_0/m' - gtt/2
Если перевести эту формулу в систему единиц МКГС, то она на уровне моря и на широте 45,5 градусов будет (приблизительно) совпадать с формулой, приведенной пламенным эстонским последователем заветов Старого 7-40 в сообщении https://vif2ne.org/nvz/forum/0/co/206252.htm .
>где ln(x) - натуральный логарифм от x, tt - это t в квадрате.
>Используя разложение логарифма в ряд Тейлора можно показать, что если m't/M_0 много меньше единицы, то приблизительно
>h=(Vm'/M_0 - g)tt/2
>как и должно быть.
Это верно и для исправленной формулы.